Fraktaalijoukkojen ja -mittojen Assouad-dimensiot ja paikallinen rakenne

Geometrian juuret juontavat maanmittauksessa, rakentamisessa, tähtitieteessä sekä käsityöläisammateissa tarpeellisten menetelmien kehittämiseen. Näillä aloilla on usein tärkeää tehdä tarkkoja mittauksia kuvioiden ja kappaleiden etäisyyksistä, pituuksista, pinta-aloista tai tilavuuksista. Monet luonnossa, tekniikan aloilla tai fysiikassa esiintyvät kuviot, kappaleet tai prosessit ovat kuitenkin liian monimutkaisia kuvailtavaksi klassisen geometrian menetelmin. Erityisen ongelmallisia ovat fraktaalit - kappaleet tai prosessit, jotka sisältävät yksityiskohtaista hienorakennetta kaikissa mittakaavoissa - kuten rosoreunaiset jääkiteet, pörssikurssien sahalaitaiset vaihtelut, sekä vuorten karkeat rinteet.

Klassisen geometrian menetelmillä on usein haastavaa tai mahdotonta kuvailla fraktaalin kokoa tarkasti; usein esimerkiksi fraktaalin pituudelle tai pinta-alalle saadaan arvioita, jotka kasvavat tai pienenevät rajatta mittausten tarkentuessa. Fraktaalien koon ja kompleksisuuden kuvailuun sopivien menetelmien kehittämiseen on erikoistunut matematiikan ala nimeltään fraktaaligeometria. Fraktaaligeometriassa kehitetään näitä menetelmiä, pyritään ymmärtämään niitä tutkimalla erilaisten fraktaalimallien rakennetta, sekä käytetään menetelmiä soveltavilla aloilla tai muualla matematiikassa luonnollisesti esiintyvien fraktaalien kuvailuun ja luokitteluun. Tutkimusten mukaan, fraktaaligeometrian menetelmillä voidaan esimerkiksi tunnistaa joitain syöpäsoluja, joilla on terveitä soluja karkeampi rakenne, klassisia menetelmiä tarkemmin.

Fraktaaleilla on usein itsesimilaari rakenne: ne koostuvat kaikissa mittakaavoissa itsensä pienemmistä, mahdollisesti vääristyneistä tai päällekkäisistä, kopioista. Väitöstyössäni tutkin fraktaalien paikallista rakennetta, johon vääristymät ja päällekkäisyydet vaikuttavat helposti. Väitöstyössäni esittelen uuden menetelmän fraktaalirakennetta sisältävien massajakaumien paikallisen rakenteen mittaamiseen, sekä vertailen tätä tunnettuihin menetelmiin. Osoitan esimerkiksi, että useille itsesimilaareille fraktaaleille menetelmällä voidaan tunnistaa massajakaumasta hienorakennetta, joihin aiemmilla menetelmillä ei päästä käsiksi. Lisäksi tutkin fraktaaleja, jotka sisältävät sekä päällekkäisyyksiä, että vääristymiä, ja osoitan, että vääristymät johtavat paikallisesti kampamaiseen rakenteeseen pienillä mittakaavoilla. Tämän kamparakenteen avulla voidaan erottaa toisistaan fraktaaleja, jotka näyttävät suurilla mittakaavoilla samalta.