Yleistettyjen ketjumurtolukujen Diofantoksen approksimaatioista

Irrationaaliluvuilla, kuten piillä ja luvun 2 neliöjuurella, on ääretön ja jaksoton desimaaliesitys. Tämän vuoksi niillä laskemiseen tarvitaan hyviä likiarvoja. Diofantoksen approksimointi on lukuteorian tutkimusalue, jossa pyritään löytämään irrationaaliluvuille mahdollisimman hyviä murtolukuarvioita. Esimerkiksi piille murtoluku 22/7 on parempi arvio kuin 3,14.

Neljästä osajulkaisusta koostuvassa väitöskirjassa tutkitaan yleistettyjen ketjumurtolukujen arviointia murtoluvuilla. Yleistetyt ketjumurtoluvut ovat hyödyllisiä esitysmuotoja luvuille, joiden desimaaliesitys tai niin kutsuttu yksinkertainen ketjumurtoesitys ovat hankalasti käsiteltäviä. Väitöskirjassa tutkitaan, miten hyvin yleistettyjä ketjumurtolukuja voidaan arvioida, kun niiden muodolle asetetaan tiettyjä ehtoja. Erityisesti tarkastellaan ketjumurtolukuja, joiden osoittajat ja nimittäjät saavat arvoja vain äärellisestä määrästä positiivisia kokonaislukuja.

Väitöskirjassa osoitetaan, että mikäli yleistetyn ketjumurtoluvun osoittajat ja nimittäjät ovat tietyillä tavoin rajoitettuja, niitä on mahdollista arvioida hyvin murtoluvuilla vain tiettyyn rajaan saakka. Toisaalta mikäli näitä rajoituksia ei ole, on mahdollista muodostaa ketjumurtolukuja, joita voidaan arvioida niin hyvin kuin halutaan. Keskeisinä tuloksina väitöskirjassa esitetään Neperin luvun potensseille aiempia tuloksia parempia arvioita sekä esitellään uusi tapa muodostaa tietyntyyppinen yleistetty ketjumurtoesitys mille tahansa luvulle.