Matemaattiset tieteet

Monet inversio-ongelmat syntyvät käytännön tarpeesta nähdä pintaa syvemmälle. Voidaan kysyä esimerkiksi, mitä arvometalleja on maankuoressa, miten potilaan sydän toimii, tai mitä kaukainen galaksi sisältää.

Inversio-ongelmien tutkimus on soveltavan matematiikan ala, joka pyrkii vastaamaan tämänkaltaisiin kysymyksiin. Inversio-ongelmien tutkimus hyödyntää moninaisia matematiikan aloja, kuten differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaa, funktionaalianalyysiä, kompleksianalyysiä ja Fourier-analyysiä. Käytännön ongelmissa sovelletaan numeerista analyysiä ja todennäköisyyslaskentaa. Inversiomatematiikan tutkijat soveltavat monia erilaisia matematiikan käsitteitä, kuten Diracin delta-funktiota, Brownin liikettä ja Riemannin pintoja. Inversio-ongelmien sovellusaloihin kuuluvat erityisesti fysiikan eri alat, mutta myös esimerkiksi bio- ja ympäristötieteet.

Inversio-ongelmia kohdataan vaihtelevantyyppisissä sovelluksissa, kuten

• lääketieteellisessä kuvantamisessa: tietokonetomografia-, magneetti- ja ultraäänikuvauksessa,
• geologisessa kartoittamisessa: esimerkiksi akustisessa tai elektronisessa öljyn tai arvomineraalien etsinnässä,
• hävikittömässä testauksessa teollisuustuotannon laadunvalvonnassa,
• kaukokartoituksessa, sisältäen satelliitti- ja tutkahavainnot.

Oulun sovelletussa matematiikassa ja datatieteessä keskeisenä päämääränä on keskittyä sellaisten ongelmien ratkaisemiseen, joissa arvioitavia parametrejä on paljon enemmän kuin kerättyjä havaintoja (ei-identifioituvat korkeaulotteiset ongelmat). Tämän kaltaisessa tilanteessa, monien mahdollisien ratkaisujen joukosta valitaan yksi mahdollinen ratkaisu käyttäen etukäteisinformaatiota tai rajoittamalla ratkaisujen joukkoa esimerkiksi regularisoimalla. Edellä kuvatun kaltainen tilanne on myös hyvin tyypillinen inversiomatematiikassa.

Suomen Akatemian rahoittamassa Profi 5/ HiDyn hankkeessa (2020-2025) tavoitteena on kehittää uusia ja tehokkaita datatieteen menetelmiä vastaamaan moderneihin monitieteisiin tutkimuskysymyksiin. Erityisen mielenkiinnon kohteina ovat korkeaulotteisiin dynaamisiin systeemeihin liittyvät ongelmat. Käsiteltäviä kysymyksiä ovat mm. kuvantamismenetelmät lääketieteessä, esineiden internet insinööritieteissä, pitkittäistutkimukset ja DNA-mittauksiin perustuvat ennustemallit biologiassa ja lääketieteessä, sekä ympäristöhaittojen ennustaminen ja avaruusilmaston, ilmakehän ja ilmastosysteemien avoimet kysymykset. Olennaisia ovat lisäksi myös esimerkiksi teräksen tuotannon monitorointiin ja kontrollointiin liittyvät ongelmat. Kaikkien yllä mainittujen ongelmien ratkaisu edellyttää sovelluksia varten räätälöityjen tilastomallien kehittelyä, tekoälymenetelmien soveltamista tai hierarkisen Bayes-mallinnuksen hyödyntämistä. Bayesiläiset tekoälymenetelmät voivat liittää ennusteisiin todennäköisyysjakaumat jotka antavat tietoa ennusteiden epävarmuudesta ja sen jakautumisesta ns. ”parhaan arvauksen” ympärillä. Kontrolliongelmissa todennäköisyysjakaumat auttavat identifioimaan stabiilit kontrolliparametriyhdistelmät. Bayes-analyyseissa on myös luonnollista sisällyttää aineiston lisäksi mukaan etukäteistietoa ja rajoitteita.

Todellisen maailman korkeaulotteisten ongelmien ratkaisuun soveltuvissa tilastollisissa menetelmissä painopisteemme on sellaisten laskennallisten menetelmien kehittämisessä, jotka skaalautuvuuden lisäksi ottavat huomioon ongelman luonteen ja käytettyjen datatieteen menetelmien läpinäkyvyyden ja tulkittavuuden. Emme kuitenkaan halua luopua mallinnuksellisista tavoitteistamme laskennallisista syistä. Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että haluamme hyödyntää täysin datan keräysverkostoa siten että mahdollisimman paljon laskennasta suoritetaan paikallisesti ja ainoastaan tyhjentävät tunnusluvut siirretään globaalisti. Tämä auttaa myös hyödyntämään läpinäkyvien ja hyvin-tulkittavien ennustusmenetelmien käyttöä terveyssovelluksia varten ’black box’-ennustemallien sijasta. Aina kun mahdollista, haluamme käyttää Markovin ketju Monte Carlo-simulointimenetelmiä ja pyrkiä hyödyntämään optimointityökaluja ainoastaan tapauksissa joissa laskenta ei muuten ole mahdollista. Lisäpainopistealueena keskitymme kehittämään skaalautuvia menetelmiä reaaliaikaisiin sovelluksiin, jotka ovat välttämättömiä esim. lääketieteellisessä kuvantamisessa, yhdistämällä datatieteen tekniikoita matemaattiseen mallinnukseen.

Matemaattisen analyysin ryhmässä tutkitaan monipuolisesti fraktaaligeometrian, dynaamisten systeemien, geometrisen mittateorian, geometrisen analyysin ja harmonisen analyysin aiheita. Analyysin ryhmän perustutkimus liittyy Oulun yliopiston strategian painopistealueisiin, joissa dynaamisten systeemien ja muiden monimutkaisten matemaattisten rakenteiden ymmärtäminen on keskeistä. Tutkimuskohteitamme ovat muun muassa

• Itsesimilaariset ja itseaffiinit joukot sekä niiden epälineaariset variantit.
• Satunnaisfraktaalien geometria.
• Joukon ulottuvuus ja sen muutokset erityyppisissä kuvauksissa.
• Additiiviset ja sub-additiiviset dynaamiset systeemit.
• Fourier-muunnos ja sen sovellukset fraktaaligeometriaan, geometriseen mittateoriaan ja abstraktiin harmoniseen analyysiin.
• Geometrinen analyysi, erityisesti konforminen dimensio ja metristen avaruuksien upotukset ja tangentit.

Tutkimusalasta voi lukea lisää yksikön englanninkieliseltä sivulta.

Opinnäytetyöt ja tutkijakoulutus

Matemaattisen analyysin tutkimusryhmä on vireä ja kansainvälinen tutkimusyhteisö. Analyysistä ja sen sovelluksista kiinnostuneet maisterivaiheen opiskelijat voivat tiedustella Pro gradu aiheita maisterivaiheen vastuuopettajalta (Esa Järvenpää) tai suoraan tutkimusryhmän seniorijäseniltä. Analyysin jatko-opintoihin liittyvissä kysymyksissä voi kääntyä ryhmän tutkijoiden puoleen tai olla yhteydessä tohtorintutkinto-ohjelman vastuuhenkilöön (Ville Suomala). Ryhmän tutkimusta ja tohtorikoulutusta rahoittavat muun muassa Suomen Akatemia, Oulun yliopiston tutkijakoulu ja useat suomalaiset säätiöt.

Tutkimusryhmän jäsenet

Opetus- ja tutkimushenkilökunta

• Esa Järvenpää
• Maarit Järvenpää
• Pekka Salmi
• Ville Suomala
• Meng Wu

Tutkijatohtorit ja väitöskirjatutkijat

• Roope Anttila
• Niilo Joutsenlahti
• Markus Myllyoja
• Yu-Liang Wu

Mikko Sillanpää (yksikön johtaja, professori, tilastotiede)

Ville Suomala (yksikön varajohtaja, apulaisprofessori, matematiikka)

Maarit Järvenpää (matematiikka, dekaani)
Esa Järvenpää (matematiikka)
Mikko Sillanpää (tilastotiede, yksikön johtaja)

Lasse Holmström (sovellettu matematiikka, emeritus)
Esa Läärä (tilastotiede, emeritus)
Markku Niemenmaa (matematiikka, emeritus)
Valeriy Serov (sovellettu matematiikka, emeritus)

Andreas Hauptmann (inversio-ongelmat, akatemiatutkija)
Ville Suomala (matematiikka, yksikön varajohtaja)
Patrik Waldmann (tilastotiede)
Meng Wu (matematiikka, akatemiatutkija)

Babak Maboudi Afkham (inversio-ongelmat)

Mahmoud Filali (matematiikka)
Liisa Ilvonen (tilastotiede)
Marko Leinonen (matematiikka)
Kari Myllylä (matematiikka)
Pekka Salmi (matematiikka)

Emma Leppälä (matematiikka)
Jari Päkkilä (tilastotiede)

Yuhua Fan
Santeri Kaupinmäki
Markku Kuismin
Tero Lähderanta

Roope Anttila
Zewude Berkessa
Tuomas Hautamäki
Niilo Joutsenlahti
Bradley Kearn
Aapo Korhonen
Reijo Leinonen
Juho Luukkonen
Anssi Manninen
Markus Myllyoja
Hanna Pulkkinen
Diego Rondon Bautista
Mansoure Giahi Sabour
Olli Sarala
Antti Sällinen
Dimitri Tuomela
Yu-Liang Wu

Ilkka Launonen (koordinaattori, Profi5/HiDyn - projekti)